La magia della matematica by Arthur Benjamin

autore:Arthur Benjamin
La lingua: ita
Format: epub
ISBN: 9788875786434
editore: Codice edizioni
pubblicato: 2017-12-09T05:00:00+00:00

Ci sono moltissimi problemi facili da formulare ma tuttora irrisolti sui numeri primi. Abbiamo già visto che non si sa se esistano infiniti numeri primi di Fibonacci. (È stato invece provato che nella successione di Fibonacci esistono soltanto due quadrati perfetti, 1 e 144, e due soli cubi perfetti, 1 e 8.) Un altro problema irrisolto è noto come congettura di Goldbach e ipotizza che ogni numero pari maggiore di 2 sia la somma di due primi. Di nuovo, nessuno è riuscito a dimostrare la congettura, ma è stato provato che se esiste un controesempio, deve avere almeno 19 cifre. (Di recente c’è stata una svolta in un problema che un po’ gli somiglia. Nel 2013, Harald Helfgott dimostrò che ogni numero dispari superiore a 7 è la somma di tre primi dispari al massimo.) Infine, chiamiamo due numeri primi gemelli se hanno 2 come differenza. I primi esempi sono 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31 e via dicendo. Riuscite a dimostrare come 3, 5 e 7 siano gli unici primi “trigemini”? Inoltre, sebbene sia stato dimostrato che ci sono infiniti numeri primi che finiscono per 1, o per 3, 7 e 9, come caso speciale di un teorema dovuto a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, resta aperta la questione se esistano infiniti primi gemelli.

Concludiamo il capitolo con una dimostrazione un po’ sospetta, ma spero sarete d’accordo con la proposizione che segue.

Tesi: Tutti gli interi positivi sono interessanti!

Dimostrazione (?): siete già d’accordo sul fatto che i primi numeri positivi sono tutti molto interessanti. Per esempio, 1 è il primo numero, 2 è il primo numero pari, 3 è il primo numero primo dispari e via dicendo. Ora supponiamo, per assurdo, che i numeri non siano tutti interessanti. Allora esisterebbe un numero N, il primo privo di interesse. Ma allora questo renderebbe di per sé N assai interessante! Pertanto, non esistono numeri che non siano interessanti!

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